Process Equipment Control : (8) Distillation Control – Pump Around Reflux Control

Selain binary distillation yang hanya menghasilkan dua jenis produk (produk atas dan produk bawah) seperti yang dijelaskan pada tulisan serie sebelumnya, banyak juga  jenis kolom distilasi yang menghasilkan banyak/lebih dari dua produk (multi produk).  Contoh kolom distilasi dengan multi produk adalah crude tower, vacuum tower dan fluid catalytic cracking unit (FCCU).

Pada kolom distilasi dengan multi produk, produk lainnya akan dikeluarkan dari bagian samping kolom (side stream).  Untuk menjaga spesifikasi produk samping, kolom distilasi juga dilengkapi dengan sistem kontrol produk samping. Salah satu contohnya adalah pump around flow control, seperti gambar berikut.

Pada konfigurasi ini, pump around dikontrol dengan menggunakan flow controller (FC₁).  Sedangkan side stream product dikontrol dengan menggunakan flow controller (FC₂), yang terkadang di-cascaded dari column level controller atau analyzer controller.

Sebenarnya kegunaan dari pump around adalah menjaga kesetimbangan panas dalam kolom, dengan jalan mengambil/menghilangkan sebagian panas dari kolom.  Oleh karenanya,  pada kondisi tertentu akan lebih baik jika pump around dikontrol dengan menggunakan duty control, seperti gambar berikut.

Apabila kolom distilasi dilengkapi dengan side stripper, maka konfigurasi kontrol untuk produk seperti terlihat pada gambar berikut, dimana side stream ditarik dari kolom menuju stripper dibawah kendali flow control (FC₂) yang di-cascaded dari level control stripper (LC) atau bisa juga LC langsung menggerakan control valve tanpa melalui FC₂.

Penggunaan Fungsi Regresi Excel untuk Pemodelan Inferential

Umumnya pengukuran kualitas produk dalam industri proses dilakukan dengan analisa laboratorium, yang dilakukan dalam periode 8 jam (per-shift) atau 24 jam (per-hari). Diantara periode tersebut, operator tidak memiliki panduan yang pasti mengenai kualitas produk, mereka hanya memperkirakannya dengan melihat nilai variable proses lainnya yang terkait. Dengan cara perkiraan ini yang tentu saja sangat besar tingkat kesalahannya,  maka umumnya kondisi operasi dijaga agak  jauh dari batas/limit yang dikehendaki, agar produk tidak off-spec.  Dengan demikian unit proses tidak bisa dioperasikan pada kondisi optimal (kondisi optimal umumnya berada di dekat limit).

Untuk mengatasi permasalahan ini, digunakan online analyzer untuk mengukur kualitas produk. Akan tetapi karena siklus analisa pada online analyzer yang mencapai 15 – 60 menit (bandingkan dengan waktu cuplik variabel proses lainnya yang kurang dari 1 menit), ditambah banyaknya permasalahan yang terkait dengan operasi/pemeliharaannya, maka penggunaan online analyzer ini juga belum menyelesaikan permasalahan ini secara tuntas.

Cara lainnya adalah dengan menggunakan inferential calculation, yaitu menggunakan model untuk menentukan/menghitung kualitas produk berdasarkan nilai variabel proses terkait. Dengan inferential calculation, kualitas produk bisa diketahui setiap saat sehingga memudahkan operator mengoperasikan unit proses secara optimal. Banyak paket aplikasi inferential yang tersedia, ada yang didasarkan pada perhitungan yang rigorous (menggunakan first principles of chemical engineering calculation), neural network, regresi atau metode lainnya.  Selain menggunakan paket aplikasi tersebut,  pemodelan untuk inferential calculation juga bisa dilakukan dengan menggunakan fungsi regresi yang ada di microsoft excel. Tulisan ini akan membahas hal ini.

Untuk mudahnya, pembahasan dilakukan dengan memberikan contoh.  Contoh yang diambil adalah penentuan Final Boiling Point (FBP) produk naphtha pada Crude Distiller Unit (CDU).  Dari pengalaman dan pengetahuan proses, FBP produk naphtha dominannya dipengaruhi oleh dua variabel yaitu overhead temperature dan pressure compensated fractionator temperature.  Berikut adalah data FBP produk naphtha dan kedua variabel proses yang mempengaruhinya.

Selanjutnya dengan data ini akan dibangun model inferential dengan menggunakan fungsi regresi di microsoft excell.

Fungsi regresi di microsoft excel dapat diakses dari menu dengan cara sbb: Tools – Data Analysis… , muncul jendela Data Analysis, pilih Regression – Ok – muncul jendela Regression.

Pada jendela Regression: Input Y Range diambil dari data kolom D2  s/d  D29 ($D$2:$D$29) yaitu data untuk Naphtha FBP, Input X Range diambil dari kolom B2  s/d  C29  ($B$2:$C$29) yaitu data untuk Overhead temperature dan Pressure compensate temperature, Confidence Level tetap diset 95%, Output Range A32 ($A$32). Kemudian tekan OK. Hasil regresinya adalah sbb:

Hasil/output perhitungan regresi terdiri dari 3 komponen/tabel, yaitu: 1) Regression Statistics; 2) ANOVA; 3) Regression Coefficients. Selanjutnya akan dijelaskan maksud dari masing-masing tabel tersebut.

Tabel pertama adalah Regression Statistic, yang digambarkan kembali sebagai berikut.

Tabel ini menunjukan besarnya korelasi/varian antara variabel tidak bebas (dependent variable, dalam hal ini FBP produk naphtha) dengan variabel bebas (independent variable, dalam hal ini Overhead temperature dan pressure compensated fractionator temperature).

Dari semua parameter yang ada pada tabel tersebut, parameter R Square yang biasanya digunakan untuk menentukan bagus tidaknya korelasi/variasi model hasil regresi (walaupun ada juga yang menggunakan  Multiple R atau Adjusted R Square).  Sebagai Panduan umum, R Square > 0.8 menunjukan varian model bagus. R square sebesar 0.7592 seperti yang dihasilkan pada tabel diatas juga masih cukup baik, ia mengandung pengertian 75.92% perubahan/variasi output (FBP produk naphtha) dipengaruhi oleh input (Overhead temperature dan Pressure compensated fractionator temperature), sedangkan sisanya oleh variabel lainnya.  R Square, yang menunjukan total varian yang dihasilkan oleh model, dihitung dengan rusmus:  R Square = 1 – (SSres/SStotal).  Mengenai apa itu SSres dan SStotal lihat pembahasan  tentang tabel ANOVA.

Parameter lainnya adalah Multiple R, disebut sebagai  koefisien korelasi  antara variabel output dan input, dihitung dengan rumus : Multiple R = (R Square)^0.5.

Adjusted R Square, merupakan nilai R Square yang di-adjusted sesuai ukuran model, dengan menggunakan rumus : Adjusted R Square = 1 – (SSres/dfress)/(SStotal/dftotal).

Standard Error, merupakan standard deviasi error keseluruhan model. Observation, adalah jumlah observasi/data.

Tabel kedua adalah ANOVA (analysis of variant), berisi jumlah kuadrad (sum of square) untuk setiap komponen.

Dalam regresi, ANOVA digunakan untuk mengetes tingkat kebenaran/signifikan model hasil regresi secara keseluruhan (overall model). Parameter yang menentukan tingkat signifikan model regresi adalah yang berada pada kolom paling kanan, yaitu Significance F. Parameter ini disebut juga p-value.  Tingkat signifikan model naik jika Significance F turun. Significance F mendekati nol berarti variabel input sangat (signifikan) berpengaruh pada output. Tabel berikut bisa digunakan sebagai panduan untuk menentukan hubungan antara Significance F dengan tingkat signifikan model yang dihasilkan.

Untuk contoh ini, nilai Significance F adalah 0.0000000187 < 0.05 (alfa), sehingga model yang dihasilkan signifikan.

Untuk lebih jelasnya, akan diuraikan lebih rinci tentang informasi yang ada dalam tabel ANOVA. Secara umum tabel ANOVA berbentuk sbb:

Kolom pertama adalah source, yaitu data yang akan dicek rentang/variasinya.  Ada 3 source, yaitu Regression, Residual dan Total. Regression digunakan untuk melihat rantang/variasi dari model yang diperoleh. Residual digunakan untuk melihat kesalahan/error dari model yang diperoleh. Total merupakan penjumlahan antara Regression dan Residual.

Kolom kedua adalah df,  merupakan kependekan dari degree of freedom. Ia menunjukan sejauh mana variabel bebas yang dimiliki.  m adalah jumlah variabel dan n adalah jumlah observasi.

Kolom ketiga, Sum of Square (SS) untuk masing-masing source. Untuk Regression, Sum of Square (SSreg) merupakan penjumlahan dari kuadrat nilai yang diprediksi/hasil perhitungan model (Yhat) dikurangi nilai rata-rata output data observasi (Ybar).  Ini bertujuan untuk mengukur sejauh mana rentang/variasi hasil prediksi model dari rata-rata data observasi. Semakin tinggi SSreg semakin bagus karena rentang/variasinya semakin besar (model bisa digunakan dalam rentang yang lebar).

Untuk Residual, Sum of Square (SSres) merupakan jumlah kuadrat data observasi (Y) dikurangi nilai prediksi (Yhat). Ini bertujuan untuk mengetahui sejauh mana model sama/mirip dengan aktual. Jika modelnya bagus maka SSres kecil.

Yang ketiga adalah Sum of Square untuk total (SStotal), ini merupakan jumlah kuadrat dari masing-masing observasi (Y) dikurangi rata-rata seluruh observasi (Ybar). Ini  digunakan untuk mengukur sejauh mana rentang/variasi observasi terhadap rata-ratanya.

Kolom keempat, Mean Square (MS), yang dihasilkan dengan membagi masing-masing Sum of Square (SS) dengan degree of freedoms (df).  MSres disebut juga dengan variance of error, yang mengukur sebaran data observasi terhadap prediksi.

Kolom kelima, F, yang diperoleh dengan membagi Mean Square untuk regresi (MSreg) terhadap Mean Square untuk residual (MSres). Nilai F digunakan untuk menentukan apakah model sesuai dengan data aktual.

Kolom terakhir adalah Significance F atau dikenal juga dengan p-value, digunakan untuk menunjukan ukuran tingkat signifikan model regresi dalam menjelaskan tingkat variasi output.  Significance F ini diperoleh berdasarkan nila F, df regression dan df residual, bisa diperoleh dengan menggunakan rumus excell berikut =FINV(F,dfreg,dfres). Tingkat signifikan model regresi akan naik jika Significance F turun. Significance F mendekati nol berarti variabel input sangat (signifikan) berpengaruh pada output.

Tabel terakhir adalah tabel coefficients. Tabel ini berisi nilai koefisien model hasil regresi dan beberapa parameter penting untuk setiap koefisien.

 

Kolom coefficients berisi nilai koefisien model hasil perhitungan (menggunakan metode least square estimate).  Kolom standard Error berisi simpangan baku (standard error) perhitungan koefisien model. Kolom t Stat adalah t-statistic untuk koefisen model, yang dihitung dengan membagi nilai koefisien oleh standard error-nya, t Stat = coefficient/standard error.  Kolom P-value berisi p-value yang terkait dengan t statistic untuk masing-masing koefisien. Parameter P-value bergantung pada t Stat dan df, yang dihitung dengan menggunakan rumus two tailed t distribution pada excell sbb : P-value = TDIST(t value,df,2). Parameter P-value disini sama artinya dengan pada tabel ANOVA, yang membedakannya adalah P-value pada tabel ANOVA untuk keseluruhan model,  sedangkan disini P-value untuk masing-masing koefisien model.  Hubungan antara P value dengan tingkat signifikan koefisien model adalah sbb:

 

Kolom Lower 95% dan Upper 95% menunjukan nilai koefisien pada interval 95%  confidence.  Batas konfiden (confidence limits) dihitung dengan menggunakan rumus excell berikut: Coefficient ± t*standard error. Dengan t adalah t value sesuai nilai df dan alpha tertentu (dalam contoh ini df = 21 dan alpha = 0.05), yang dapat dihitung dengan menggunakan rumus excell : =TINV(alpha,df).  Koefisien model bagus/signifikan apabila rentang 95% significant ini tidak berisi nol.

Dari semua parameter tersebut, yang perlu diperhatikan untuk menilai koefisien model adalah cukup nilai koefisien dan P-value sesuai kriteria tingkat signifikan diatas. Untuk contoh ini, karena p-value untuk ketiga koefisien < 0,05 (alpha), maka nilai ketiga koefisien tersebut signifikan.

Rangkuman Regresi.    Pada regresi, ada 3 parameter kunci yang menentukan/menunjukan model hasil regresi tersebut bagus, yaitu:

 

Dari tabel hasil regresi untuk contoh diatas, diperoleh model inferential untuk FBP produk naphtha sbb:

Naphtha FBP = 1.9476 * (Overhead Temperature) – 1.0932 * (Pressure Compensate Temperature) + 72.5286.

Dengan R Square = 0.759 (mendekati 0.8),  Significance F = 0.0000000187 < 0.05 (alpha), dan P value untuk ketiga koefisien < 0.05 (alpha). Sehingga dapat disimpulkan, model hasil regresi ini cukup baik/signifikan.

Hasil ini tidak jauh berbeda dengan hasil perhitungan regresi dengan menggunakan Profit Sensor Pro yang merupakan paket inferential model produk Honeywell, yaitu:

Naphtha FBP = 1.9467 * (Overhead Temperature) – 1.0925 * (Pressure Compensate Temperature) + 72.5.

Dengan R Square = 0.7595.

Konversi Data.   Regresi yang digunakan disini adalah regresi linear, sehingga untuk mendapatkan model yang benar, relasi antara variabel bebas dan variabel tidak bebas harus bersifat linear.  Untuk itu, sebelum digunakan dalam regresi, data tersebut harus dicek terlebih dahulu linearitasnya dengan menggunakan grafik scatter.  Apabila trending di grafik scatter menunjukan hubungan tidak linear, maka sebelum digunakan data tersebut harus dikonversi menjadi linear terlebih dahulu.  Beberapa tipe relasi yang mungkin terjadi adalah exponential, logarithmic dan sigmoid.  Untuk konversi exponential dan logarithmic ke linear gunakan rumus [=LN(y)] dan [=log10(y)].  Sedangkan untuk konversi sigmoid ke linear dapat digunakan fungsi logistic [=log10(y/(1-y))] atau probit transformation [=NORMINV(y,5,1)].

Pengujian Hipotesa.   Salah satu fungsi statistik adalah menguji hipotesa. Lalu hipotasa apa yang hendak diuji dalam perhitungan regresi diatas? Berikut akan dijelaskan secara garis besar.

Pada tabel ANOVA, hipotesa yang hendak diuji adalah:  H0 – nilai semua koefisien sama dengan nol; Ha – paling sedikit satu buah koefisien nilainya   tidak sama dengan nol.  Apabila F Significance (p-value)<alpha maka Ha diterima dan H0 ditolak, sebalinya apabila F Significance > alpha maka H0 diterima dan Ha ditolak.  Pada perhitungan diatas, karena F significance = 0.0000000187< 0.05 (alpha) maka Ha diterima dan H0 ditolak, yang berarti paling sedikit ada 1 buah koefisien yang nilainya tidak sama dengan nol.

Pada tabel Regression Coefficient, hipotesa yang hendak diuji adalah untuk masing-masing koefisien: H0 – nilai koefisien sama dengan nol; Ha – nilai koefisien tidak sama dengan nol. Apabila P-value<alpha maka Ha diterima dan H0 ditolak, sebalinya apabila P-value> alpha maka H0 diterima dan Ha ditolak. Pada perhitungan diatas, karena P-value untuk semua koefisien < 0.05 (alpha), maka H0 ditolak dan Ha diterima, yang berarti semua koefisien nilainya tidak sama dengan nol.

Penentuan Variabel Bebas.   Sebenarnya, variabel proses yang menentukan nilai FBP produk naphtha tidak hanya Overhead temperature dan Pressure compensated fractionator temperature.  Ada variabel proses lainnya juga berpengaruh, misalnya Naphtha flowrate, Column overhead pressure, Pump around flowrate, Flash zone temperature, dsbnya. Akan tetapi karena pengaruhnya tidak signifikan, maka variabel tersebut tidak diikutsertakan dalam model.  Cara menentukan variabel mana yang dominan berpengaruh dan mana yang tidak dominan adalah dengan melakukan regresi terhadap semua variabel tersebut baik secara bersama-sama (sekaligus) maupun kombinasi diantaranya. Model hasil regresi yang paling signifikan-lah yang akan dipakai.

SIS : (8) Developing The Safety Requirement Specification

Dalam safety design life cycle, setelah diputuskan untuk menggunakan SIS dan penentuan SIL, langkah selanjutnya adalah membuat/mengembangkan safety requirement specification (SRS). SRS terdiri dari 2 bagian, yaitu: 1) functional requirement specification, dan 2) integrity requirement specification. Functional requirement specification menggambarkan proses terjadinya interlock atau apa yang akan dilakukan oleh SIS. Sebagai contoh, apabila terjadi penurunan tekanan (low pressure) di vessel A, maka valve B akan menutup secara otomatis. Integrity requirement specification menggambarkan kemungkinan valve B benar-benar menutup saat terjadinya penurunan tekanan di vessel A. Jadi ia menggambarkan kemampuan atau seberapa baik SIS bekerja.

Dalam membangun sebuah pabrik (plant), yang paling baik adalah merancang pabrik seaman mungkin, dimana tidak ada sama sekali potensi terjadinya bahaya. Akan tetapi hal ini tidak akan mungkin, pasti selalu ada potensi bahaya. Oleh karena itu, salah satu cara untuk mencegah terjadinya bahaya adalah menggunakan peralatan instrument untuk memonitor kondisi proses dan menggerakan peralatan ke kondisi yang benar, dimana bahaya dapat dicegah. Menentukan variabel proses mana yang akan dimonitor, aksi apa yang akan dilakukan oleh safety control dan sebaik apa system tersebut beroperasi merupakan isi dari SRS (functional requirement specification dan integrity requirement specification).

Secara umum, informasi yang harus ada dalam SRS adalah:

1.    Documentation and Input Requirement:

• P&IDs.
• Cause-and-effect diagram.
• Logic diagrams.
• Process data sheets.
• Process information (Incident cause, dynamics, final elements, etc) of each potential hazardous event that requires an SIS.
• Process common cause failure considerations such as corrosion, plugging, coating, etc.
• Regulatory requirements inpacting the SIS.
• Other.

2.    Functional Requirement:

• The definition of the safe state of the process, for each of the identified events.
• The process inputs to the SIS and their trip points.
• The normal operating range of the process variables and their operating limits.
• The process output from the SIS and their actions.
• The functional relationship between process inputs and outputs, including logic, math functions, and any required permissives.
• Selection of deenergized to trip or energized to trip.
• Consideration for manual shutdown.
• Action(s) to be taken on the loss of energy souce(s) to the SIS.
• Response time requirement for the SIS to bring the process to a safe state.
• Response action to any overt fault.
• Human-machine interfaces requirements.
• Reset function(s).
• Other.

3.    Safety Integrity Requirement.

• A list of the safety function(s) required and the SIL of each safety function.
• Requirements for diagnostics to achieve the required SIL.
• Requirements for maintenance and testing to achieve the required SIL.
• Reliability requirements if spurious trips may be hazardous.
• Failure mode of each control valve.
• Failure mode of all sensors and transmitters.
• Other.

Defuzzifier

Sehubungan dengan adanya pertanyaan mengenai defuzzifier di tulisan Fuzzy Control  dari salah seorang pengunjung blog ini, maka kali ini akan diuraikan  lebih detail mengenai proses defuzzifier yang saya ambil dari buku A Course in Fuzzy Systems and Control karangan Li-Xin Wang.

Defuzzifier merupakan proses memetakan himpunan fuzzy B’ yang merupakan hasil keluaran (hasil perhitungan) fuzzy inference engine kedalam variable di dunia nyata. 

Sesudah proses inference engine, kita akan mendapatkan sebuah himpunan fuzzy B’ yang merupakan gabungan atau irisan (bergantung pada jenis inference engine yang digunakan) dari beberapa himpunan fuzzy, seperti contoh pada gambar berikut.

 

Tugas defuzzifier adalah menentukan sebuah titik di dalam B’ yang paling mewakili, dimana absis titik tersebut yang bernilai y* akan dijadikan keluaran/output perhitungan fuzzy.  Dalam statistik,   nilai yang paling mewakili  sekumpulan data/sample biasanya nilai rata-rata. Akan tetapi karena fuzzy bukanlah statistik, maka penentuan titik dalam B’ tersebut sedikit berbeda dari statistik. Terdapat 3 cara penentuannya, yaitu center of gravity, center average dan maximum.

Center of gravity defuzzifier.  Pada metode ini, titik y* diambila sedemikian hingga garis tegaknya akan membagi area B’ menjadi dua bagian, sebelah kiri dan kanan sama besar.

 

Secara umum, rumus matematiknya adalah sbb:

 

Center average defuzzifier.  Dengan metode ini, titik y* merupakan rata-rata tertimbang dari pusat masing-masing himpunan fuzzy pembentuk B’ (weight average of the center of input fuzzy). Yang menjadi bobot/weight-nya adalah tinggi pusat masing-masing himpunan fuzzy input (w1 dan w2).

 

Secara umum, rumus matematisnya adalah sbb:

 

Maximum defuzzifier.  Dengan metode ini, y* diambil pada titik dimana nilai fuzzy-nya paling besar.

 

Secara umum, rumus matematisnya adalah y* = any point in hgt(B’), dengan hgt(B’) adalah titik-titik pada absis yang nilai fuzzy-nya paling besar.

Bisa saja terjadi dalam B’ terdapat lebih dari satu titik yang memiliki nilai fuzzy tertinggi.  Jika ini terjadi maka penentuan y* diambil dengan cara berikut:  smallest of maxima atau largest of maxima atau mean of maxima.

Rumus matematisnya adalah sbb;

Contoh 1.  Untuk lebih memahami proses defuzzifier, akan diberikan contoh sebagai berikut.

 

Contoh 2.  Pada contoh 1 hanya digambarkan proses defuzzifier (himpunan fuzzy B’ sudah tersedia). Pada contoh 2 ini, semua proses dalam fuzzy system akan dibahas, mulai dari fuzzifier, rule base, inference engine sampai defuzzifier.

Process Equipment Control : (7) Distillation Control – Reboiler Control

Pada serie sebelumnya sudah dijelaskan bahwa pemisahan material yang terjadi dalam kolom distilasi dilakukan dengan cara mempertemukan liquid dan vapor dalam arah berlawanan (countercurrently contact), liquid dari arah atas dan vapor dari arah bawah.  Yang menyediakan liquid dari atas adalah reflux, sedangkan yang menyediakan vapor dari bawah adalah reboiler. Untuk menghasilkan produk sesuai spesifikasi yang dikehendaki, maka keduanya, reflux dan reboiler perlu dikontrol. Pengontrolan reflux sudah dibahas pada serie sebelumnya, pada serie ini akan dibahas mengenai pengontrolan reboiler.

Salah satu konfigurasi reboiler control adalah seperti pada gambar berikut.

 

Dalam konfigurasi ini, jumlah vapor yang dihasilkan dikontrol dengan cara mengatur aliran panas ke reboiler, dalam hal ini aliran steam/uap.  Jumlah produk bawah (bottom product) yang diuapkan menjadi vapor ditentukan dari besarnya setpoint steam flow control (FC). Semakin besar setpoint FC, semakin banyak vapor yang dihasilkan.  Jumlah produk bawah yang dikeluarkan/dihasilkan dikontrol dengan menggunakan level control (LC).

Konfigurasi diatas digunakan pada kettle type reboiler. Sedangkan untuk reboiler tipe thermo-syphon atau forced-circulation, konfigurasi berikut bisa digunakan.

 

Pada konfigurasi ini, produk bawah (residue) diambil/dikeluarkan langsung dari column.

Konfigurasi lainnya adalah aliran uap (steam flow) diatur oleh reboiler level control (LC), sedangkan aliran produk dikontrol oleh flow controller (FC) seperti gambar berikut.

 

Selain menggunakan pemanas steam seperti beberapa konfigurasi diatas, reboiler juga terkadang menggunakan pemanas yang berasal dari produk kolom distilasi (kolom utama seperti CDU atau FCCU). Konfigurasi kontrol reboiler yang menggunakan pemanas jenis ini diperlihatkan pada gambar berikut.

 

Pada konfigurasi ini, selain digunakan untuk reboiler, media pemanas juga digunakan untuk menghasilkan steam pada steam generator. Flow control (FC) yang terletak sesudah tie, digunakan untuk menstabilkan steam yang dihasilkan pada steam generator. Konfigurasi lainnya yang mirip dengan ini seperti pada gambar berikut.

 

Pada konfigurasi terakhir ini, flow control ditempatkan sebelum tie, sehingga steam generator lebih stabil dibandingkan dengan konfigurasi sebelumnya (letak flow control sesudah tie).

Pada konfigurasi yang sudah dibahas diatas, reboiler dikontrol dengan menggunakan flow control maupun temperature control.  Selain itu, reboiler juga bisa dikontrol dengan menggunakan heat input control. Pada jenis kontrol ini,  yang dikontrol adalah jumlah panas/heat yang diberikan ke sistem reboiler. Jumlah panas tersebut dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Q = DeltaT x Cp x roh x F

Q adalah panas  yang diberikan, DeltaT adalah perbedaan temperature fluida pemanas yang masuk dan keluar reboiler, Cp adalah specific heat medium pemanas dan roh adalah density medium pemanas.  Konfigurasi heat input control pada reboiler dapat dilihat pada gambar berikut.

Selain pemanas jenis heat exchanger (HE) seperti diatas, tidak jarang furnace/fire heater juga digunakan sebagai reboiler.  Apabila menggunakan heater, maka sistem kontrol yang digunakan adalah temperature control dengan konfigurasi seperti dijelaskan pada pembahasan mengenai sistem kontrol fire heater.

SIS : (7) Penentuan SIL

Penentuan safety integrity level (SIL) merupakan tahapan yang penting dalam SIL design life cycle. Proses penentuan SIL ini bukan pekerjaan yang mudah, dia bukan hanya tugas seorang control engineer, tetapi merupakan tugas tim yang terdiri dari berbagai disiplin ilmu.

Ada beberapa metode penentuan SIL yang bisa digunakan, ada yang bersifat kualitatif dan ada pula yang kuantitatif. Perlu ditegaskan bahwa tidak ada metode yang lebih baik dari yang lainnya. Masing-masing memiliki kelebihan dan kekurangannya. Akan tetapi semua metode (khususnya kuantitatif) didasarkan pada isu yang sama (common issue) yaitu evaluasi dilakukan terhadap 2 komponen risiko, probabilitas dan severitas. Yang membedakan hanya pada pembagian tingkat/levelnya serta pada struktur/cara pembobotannya.

Perlu diketahui bahwa dalam suatu unit proses bisa terdapat bebagai tingkat bahaya,  sehingga SIL untuk satu safety function dengan safety function lainnya juga akan berbeda-beda bergantung pada tingkat sumber bahaya yang ditanganinya. Sebagai contoh, dalam sebuah sistem vessel terdapat pengukuran pressure, flow, temperature dan level.  Pengukuran pressure berguna untuk mencegah terjadinya overpressure dan explosive,  sehingga tingkat SIL-nya tinggi. Low flow atau low level mungkin hanya untuk  mencegah kavitasi pompa sehingga tingkat SIL-nya lebih rendah. Temperature yang tinggi mungkin berdampak pada product offspec, sehingga tingkat SIL-nya juga berbeda. Jadi intinya adalah penentuan  SIL bukan satu angka/tingkat untuk seluruh unit proses, melainkan untuk masing-masing safety function.

Metode I – Kualitatif. Metode ini pertama kali dikembangkan dan digunakan oleh U.S. Military (MIL STD 882). Pada metode ini, probabilitas dan severitas dibagi menjadi 5 tingkat/level. Langkah pertama, probabilitas atau frekuensi di-rank dari 1 s/d 5 atau dari low s/d high atau jenis tingkatan lainnya, seperti contoh pada tabel berikut ini.

 

Berikutnya, severitas dikategorikan berdasarkan berbagai faktor yang terkenah risiko seperti personil/orang, peralatan, proses produksi, lingkungan dsbnya, seperti contoh pada tabel berikut.

 

Perlu diketahui bahwa pembagian tingkatan pada kedua tabel diatas hanya contoh, pembobotannyapun sangat subyektif, antara satu perusahaan dengan perusahaan lainnya mungkin berbeda.  Kemudian kedua tabel, probabilitas dan severitas diatas digabung dalam satu tabel seperti berikut.

 

Langkah terakhir adalah menghubungkan tingat risiko pada tabel terakhir ini dengan tingkat kinerja dari SIS (atau yang dikenal dengan safety integrity level atau SIL), seperti tabel berikut.

 

Bentuk lainnya dari metode ini yang digunakan oleh salah satu perusahaan kilang minyak adalah seperti pada gambar berikut.

 

Metode II – Kualitatif. Metode ini diadop IEC dari German National Standard (DIN/VDE 19250). Gambar berikut adalah contoh penentuan SIL dengan menggunakan metode ini.

Contoh pada gambar diatas hanya untuk dampak risiko terhadap orang/personil. Dengan  cara yang sama, ranking untuk faktor yang terkenah risiko lainnya seperti peralatan,  proses produksi, lingkungan bisa dilakukan. Pelaksanaan pembobotan risiko dimulai dari sebelah kiri gambar, yaitu menyangkut akibat yang ditimbulkan, dengan mengajukan pertanyaan sbb: Apa akibatnya terhadap orang/personil yang terlibat? Berikutnya menyangkut masalah frekuensi keberadaan personil dan paparan, dengan mengajukan pertanyaan sbb: Seberapa sering (frekuensi) dan seberapa besar mereka terpapar oleh  suatu risiko?  Berikutnya adalah berkaitan dengan kemungkinan menghindari kecelakaan/accident, dengan mengajukan beberapa pertanyaan berikut: Apakah reaksi proses cukup lamban sehingga orang/personil dapat melakukan aksi? Apakah ada local indicator sehingga operator dapat mengetahui apa yang akan terjadi dengan proses?  Apakah mereka sudah cukup dilatih untuk mengetahui apa yang harus dilakukan ketika terjadi situasi berbahaya? Apakah ada jalur evakuasi sehingga mereka dapat meninggalkan lokasi ketika terjadi kondisi berbahaya? Kemudian aspek yang terakhir adalah probabilitas dari kejadian dengan mengajukan pertanyaan berikut: Apakah tidak sering, sering atau sangat sering terjadinya kondisi berbahaya? Perlu diketahui bahwa semua yang dilakukan ini sifatnya sangat subyektif.

Metode III – Kuantitatif.  Ada juga engineer yang tidak terlalu suka dengan kedua metode kualitatif yang dijelaskan sebelumnya. Mereka mempertanyakan repeatability dari kedua metode tersebut.  Sebagai gambaran, apabila suatu kasus diberikan kepada 5 group untuk mengevaluasinya, hasilnya kemungkinan besar akan berlainan, bisa saja ada yang menghasilkan SIL 1, ada yang SIL 2 dan ada juga yang SIL 3, lalu apa yang akan disimpulkan dengan hasil ini? Oleh karena itu dikembangkan metode kuantitatif, dimana penentuan kinerja SIS yang dibutuhkan (required safety system performance) bergantung pada: 1) target safety goal; dan 2) demant rate,  yang dinyatakan dengan formula berikut:

Required RRF = Target Safety Goal/Deman Rate.

Sebagai contoh, yang menjadi target safety goal adalah mean time between accident, diambil sebesar 3,000 tahun. Deman rate adalah perkiraan seberapa sering suatu masalah akan terjadi di proses dan seberapa sering diperlukan suatu SIS berfungsi untuk  mengatasinya.  Misalnya dalam sistem compressor, rata-rata terjadinya overpressure pada  vessel adalah sekali tahun.  Maka untuk sistem compressor diperoleh RRF sebesar (3,000 tahun)/(1 kali/tahun) = 3,000 kali; sehingga diperlukan SIS dengan kinerja sampai dengan SIL 3 (lihat tabel sebelumnya).

Meskipun metode ini murni kuantitatif, tetapi ia membutuhkan suatu target, yang umumnya sangat sulit/tidak bijaksana untuk ditentukan karena menyangkut aspek moral seperti yang pernah dijelaskan pada serie sebelumnya. Penentuan target juga terkadang mendatangkan masalah hukum, khususnya di USA.  Misalnya, targetnya adalah waktu antara bahaya/terjadi kecelakaan sebesar seribu tahun. Orang hukum mungkin akan mempertanyakannya, misalnya  mengapa tidak dipilih sepuluh ribu tahun?  Selain itu, target seribu tahun tidak berarti bahwa sebelum seribu tahun bahaya/kecelakaan tidak akan terjadi .  Karena jika terdapat seribu instalasi proses sejenis, maka dalam satu tahun satu dari seribu instalasi tersebut mungkin bermasalah. Jadi penentuan SIL secara kuantitatif juga tidak sesederhana yang dibayangkan.

Fault-Tolerant Fieldbus

Teknologi fieldbus, khususnya Foundation Fieldbus (FF) memberikan banyak keuntungan dibandingkan dengan teknologi analog 4 – 20 mA yang saat ini paling banyak digunakan, diantaranya kemampuan online diagnostic dan  penghematan perangkat keras terutama kabel.  Secara umum, dalam satu segmen FF, bisa diakomodir hinga 32 field devices dan untuk aplikasi intrinsically safe dibatasi hingga 8 s/d 16 field devices.

Pada awal peluncurannya, teknologi ini diperkirakan akan cepat menggantikan teknologi DCS dengan 4 – 20 mA-nya yang saat itu paling banyak digunakan. Akan tetapi setelah lebih dari 10 tahun sejak peluncuran pertamanya, prediksi tersebut belum/tidak terbukti, penggunaan teknologi ini masih sangat sedikit. Menurut pendapat saya, salah satu kekurangan teknologi ini yang menyebabkan penerimaan user terhadapnya masih sangat lamban adalah karena issue redundant/fault-tolerant.  Pada dasarnya segmen  FF tidak dirancang untuk konfigurasi redundant/fault-tolerant.  Bayangkan, jika satu segmen FF bermasalah maka akan ada 32 devices yang tidak bisa bekerja, apalagi jika ke-32 devices tersebut menangani lup yang kritis (critical loop) maka akan sangat membahayakan operasi plant.

 

Salah satu cara untuk menyiasati issue redundant/fault-tolerant ini yang pernah kami lakukan sepuluh tahun lalu ketika kami membuat spesifikasi salah satu proyek yang kami tangani adalah dengan mensyaratkan bahwa satu segmen fieldbus hanya boleh mengakomodir satu lup kontrol, tidak boleh lebih. Sedangkan sisanya hanya boleh untuk monitoring loop ditambah spare. Persyaratan ini dibuat untuk meningkatkan kehandalan dan untuk memenuhi standard API RP 554 yang dengan jelas menyatakan bahwa setiap komponen (perangkat/module) yang menangani lebih dari dua lup kontrol harus redundant.

Cara lainnya untuk mengatasi issue redundant/fault-tolerant FF adalah melalui modifikasi/duplikasi  secara menyeluruh , yang membutuhkan tambahan perangkat lunak khusus (additional special software) untuk melakukan voting (one-out-of-two atau two-out-of-three), juga  penanganan khusus lainnya pada saat operasi maupun pemeliharaan. Berikut adalah konfigurasi duplex system dari  segmen FF  yang biasa dilakukan, sebut saja sebagai conventional  duplex system (sebuatan conventional ini hanya untuk membedakannya dari konfigurasi FF fault-tolerant lainnya yang muncul belakangan seperti yang akan dijelaskan di bawah ini). Pada konfigurasi tersebut, kabel yang digunakan masih satu buah/tunggal.

 

Konfigurasi redundant/fault-tolerant lainnya adalah yang dikembangkan oleh MooreHawke (salah satu divisi Moore Industries), diluncurkan tahun 2007.   Konfigurasi baru ini menggunakan duplex cable, sehingga  memiliki MTBF lebih tinggi dibandingkan dengan  konfigurasi konvensional di atas.  Selain menggunakan duplex cable, konfigurasi baru ini memiliki kelebihan lainnya yaitu tanpa menggunakan perangkat lunak khusus seperti pada konfigurasi konvensional. Berikut adalah konfigurasinya.

 

Konfigurasi FF fault tolerant baru ini sudah digunakan  dengan beberapa merek DCS dan diinstal di beberapa platforms di Laut Cina Selatan. Untuk menghemat biaya, fault tolerant system ini hanya untuk lup yang kritis (critical loop), sedangkan  untuk lup lainnya (misalnya monitoring loop atau kontrol lup yang tidak kritis) menggunakan konfigurasi simplex.  Informasi lebih jauh tentang konfigurasi fault-tolerant baru ini terutama aspek ekonomiknya silahkan baca di  sini

Si Kuncup : (12) Selamat Tinggal

Mami tersayang,

Surat saya yang terakhir ini hanya buat Mami. Surat ini bukan untuk menghukum Mami melainkan memberi ampun. Memang sangat menyedihkan harus memberi ampun kepada ibu sendiri! Mungkin karena itulah maka Yesus yang Mahakuasa menginginkan seorang ibu yang tak tercela, yang tidak memerlukan pengampunan.

Saya menulis kepada Mami untuk mengucap Selamat Tinggal!

Semoga Mami dapat hidup bahagia banyak tahun lagi meskipun saya sangsikan apakah mungkin. Semoga Mami dapat melupakan peristiwa sedih ini dalam hidup Mami selanjutnya.  Kini datang saat-saat kegelisahan bagi Mami. Saya dapat mendengar isak tangis Mami. Saya dapat merasakan gejolak hati Mami.

Tetapi itu semua baru titik awal dari sekian banyak air mata yang akan Mami curahkan secara diam-diam, tanpa diketahui oleh orang lain. Air mata itu merupakan  air mata penyesalan, air mata tobat dan kesedihan. Seorang ibu tak dapat melupakan buah kandungannya sendiri. Mami tak akan sanggup melupakan Si Kuncupnya Mami. Mustahil; itu melawan kondrat. Jika Mami mempunyai anak-anak yang lain, setiap kali Mami memandang mereka, Mami akan memandang wajahku, wajah yang tak pernah Mami lihat. Setiap kali Mami mencium mereka, akan terlintas dalam pikiran Mami tentang mencium saya, seorang anak yang keburu dimatikan.

Mami, saya ampuni Mami; saya doakan Mami; saya masih cinta akan Mami. Selamat Tinggal!

SI KUNCUP

Process Equipment Control : (7) Distillation Column Control – Reflux Control

Seperti yang dijelaskan pada serie sebelumnya bahwa pemisahan material yang terjadi dalam kolom distilasi dilakukan dengan cara mempertemukan liquid dan vapor dalam arah berlawanan (countercurrently contanct), liquid dari arah atas dan vapor dari arah bawah.  Dalam hal ini, yang menyediakan liquid secara terus menerus adalah reflux sedangkan yang menyediakan vapor adalah reboiler.  Sejumlah liquid dari reflux dan sejumlah vapor dari reboiler saling bersentuhan untuk menghasilkan produk dengan kuantitas dan komposisi tertentu berdasarkan feed tertentu. Oleh karena itu, untuk menghasilkan produk sesuai spesifikasi yang dikehendaki, aliran reflux perlu dikontrol, begitu juga dengan produk (distillate).

Salah satu konfigurasi reflux control adalah seperti pada gambar berikut.

 

Dalam konfigurasi ini, aliran reflux dikontrol dengan menggunakan flow control, sedangkan aliran distillate dikontrol dengan menggunakan accumulator level control.

Karena pemisahan material dalam distilasi didasarkan pada perbedaan tekanan uap (vapor pressure) dan karena tekanan uap bergantung pada temperature, maka temperature bisa digunakan untuk mengindikasi/mewakili komposisi produk. Sehingga aliran reflux lebih baik jika dikontrol dengan  menggunakan temperature control, seperti pada gambar berikut.

Terkadang produk suatu kolom distilasi akan digunakan sebagai feed untuk kolom distilasi/unit lainnya yang memerlukan feed yang konstan. Untuk kasus ini, aliran produk lebih baik dikontrol dengan menggunakan flow control, dalam hal ini product flow control di-cascaded dari accumulator level control, seperti diperlihatkan pada gambar di atas.

Apabila overhead pressure tidak bisa dijaga konstan, agar pemisahan tetap berlangsung dengan baik, bisa juga digunakan pressure compensated temperature control seperti gambar dibawah ini.

Compensated temperature dapat dihitung dengan rumus berikut

Tb = T x K x (Pb – P)

Tb adalah compensated temperature, T adalah overhead temperature, K adalah konstanta, Pb adalah base pressure dan P adalah overhead pressure. Perhitungan ini dijalankan di blok kalkulasi TY.

Untuk kasus tertentu, dimana flow reflux jauh lebih besar dari produk (mendekati total reflux), maka flow reflux sebaiknya dikontrol dari accumulator level control, sedangkan flow product dari temperature control, seperti gambar berikut.

Reflux dari accumulator yang masuk ke column yang biasa disebut external reflux akan berubah menjadi uap oleh panas yang berasal dari vapor yang naik dari bawah column. Sementara vapor yang memberikan panasnya tersebut terkondensasi menjadi internal reflux. Hubungan antara internal reflux dan external reflux dinyatakan oleh persamaan berikut.

Internal reflux = External reflux x (1 + Cp/Hv x (To – Tr)

Cp adalah external reflux heat capacity, Hv adalah external reflux heat of vaporization, To adalah overhead temperature dan Tr adalah external reflux temperature.

Pada kondisi tertentu, mengontrol internal reflux jauh lebih baik dibandingkan dengan external reflux seperti diatas. Gambar dibawah ini merupakan konfigurasi internal reflux control.

Hurdle Rate

Modal (capital) merupakan dana yang disiapkan oleh suatu perusahaan untuk membiayai investasi yang dilaksanakannya. Modal itu memiliki biaya (cost of capital), yang secara umum didefinisikan sebagai tingkat pengembalian (return) yang diharapkan oleh pemiliknya ketika ia berinvestasi dalam suatu investasi yang berisiko.  Suatu investasi menguntungkan apabila rate of return (IRR) investasi tersebut lebih besar dari biaya modal yang digunakannya.  Oleh karena itu, dalam berinvestasi biaya modal ini disebut juga dengan hurdle rate.

Umumnya, modal yang digunakan untuk investasi terdiri dari beberapa  komponen, yaitu hutang/pinjaman, saham preferen, laba ditahan dan saham biasa. Biaya setiap komponen modal berbeda-beda, sehingga biaya modal yang akan digunakan untuk perhitungan hurdle rate adalah nilai rata-rata  tertimbang (WACC : weight average cost of capital) dari komponen modal, yang diperoleh dengan menggunakan persamaan berikut:

WACC = w_dk_d(1 – T) + w_ps k_ps + w_s k_s + w_e k_e

• w_d    :  persentase hutang terhadap keseluruhan modal.
• k_d     :  biaya hutang (tingkat bunga hutang sebelum pajak).
• T       :  pajak.
• w_ps  :  persentase saham preferen terhadap keseluruhan modal.
• k_ps   :  biaya saham preferen.
• w_s     :  persentase laba ditahan terhadap keseluruhan modal.
• k_s      :  biaya laba ditahan.
• w_e     :  persentase saham biasa baru terhadap keseluruhan modal.
• k_e      :  biaya saham biasa baru.

Utang/Pinjaman.  Biaya hutang sebelum pajak k_d mapun pajak bisa  diperoleh dengan mudah dari data perusahaan.

Saham Preferen.  Biaya saham preferen k_ps merupakan tingkat keuntungan yang didapat  pembeli saham preferen, yang dihitung dengan fermula k_ps = Dp/Pn, dengan Dp adalah dividen saham preferen tahunan dan Pn adalah harga saham preferen bersih yang diterima perusahaan penerbit (setelah dikurangi biaya peluncuran/flotation cost).

Laba Ditahan.  Perusahaan dapat menahan sebagian laba yang diperolehnya untuk modal sendiri.  Apakah laba yang ditahan ini memiliki biaya? Ya, tentu saja, kalau tidak pemegang saham/investor akan rugi.  Lalu berapa biaya untuk laba ditahan k_stersebut?  Apabila laba tidak ditahan, maka pemegang saham/investor dapat menginvestasikannya, seperti misalnya membeli saham, obligasi, dan lain sebagainya.  Oleh karena itu, perusahaan harus memberikan keuntungan kepada pemegang saham/investor atas laba yang ditahan tersebut sama dengan jika mereka menginvestasikannya pada investasi lain yang memiliki risiko yang sama  dengan risiko perusahaan.  Keuntungan inilah yang akan diperhitungkan sebagai biaya laba ditahan k_s itu.  Biaya laba ditahan dapat dihitung dengan 3 cara/pendekatan, yaitu CAPM (capital asset prising model), DCF (discounted cash flow) dan Bond-Yield-Plus-Risk Premium.

Dengan CAPM, biaya laba ditahan dihitung dengan rumus berikut:

k_s = k_rf + (k_m – k_rf)b

• k_rf : risk free rate
• k_m  : market portofolio rate.
• b     : beta factor

Dengan DCF, biaya laba ditahan dihitung dengan formula berikut:

P₀ = Div₁/(1+k_s)¹ + Div₂/(1+k_s)² + … + (Div_h + P_h)/(1+k_s)^h

Apabila pertumbuhan dividen konstan, maka bisa menggunakan Gordon model berikut:

P₀ = Div₀ (1 + g)/k_s – g.

• P₀   : harga jual saham.
• Div : dividen saham.
• h     : tahun.
• g     : dividen growth.

Cara perhitungan biaya laba ditahan lainnya adalah dengan menggunakan metode Bond-Yield-Plus-Risk Premium.  Metode ini didasari dari kenyataan bahwa membeli saham lebih berisiko dari membeli obligasi yang memberikan penghasilan relatif tetap dan pasti.  Oleh karena itu, investor yang membeli saham akan mengharapkan premi risiko di atas keuntungan obligasi.  Sehingga dengan pendekatan ini biaya laba ditahan dihitung dengan rumus  berikut:

k_s = Tingkat keuntungan obligasi perusahaan + premi risiko.

Saham Biasa.  Perusahaan juga dapat memperoleh modal sendiri dari penjualan saham biasa.  Akan tetapi hanya perusahaan yang sudah matang (mature) yang menerbitkan saham biasa, karena biaya flotationnya yang tinggi.  Perhitungan biaya saham biasa k_e dapat menggunakan Gordon model berikut.

k_e = (Div₀ / P₀ (1 – F)) + g

• P₀       : harga jual saham.
• F         : flotation cost.
• Div₀ : dividen saham pada t = 0.
• g         : dividen growth.

Contoh Investasi di PT. Yoas.  PT. Yoas  adalah suatu perusahaan dalam negeri yang bergerak di sektor hulu perminyakan (exploration & production). Saat ini, dalam membiayai investasi, PT. Yoas menggunakan dua jenis modal, yaitu modal sendiri (equitas) dan hutang jangka panjang.

Biaya hutang jangka panjang dan pajak bisa diperoleh dari data perusahaan. Sedangkan biaya ekuitas dihitung dengan menggunakan metode CAPM, dengan rumus seperti yang dijelaskan diatas, yaitu:

k_s = k_rf + (k_m – k_rf)b

Akan tetapi, karena saham PT. Yoas belum diperdagangkan di pasar saham, maka k_m yang relefan tidak tersedia, sehingga rumus yang dipakai sedikit dimodifikasi menjadi sbb:

k_s = k_rf + (RPM)b

Dengan RPM : Risk Premium = Country Risk Premium + Equity Market Risk Premium.

Dengan asumsi bahwa Country Risk Premium mempunyai dampak yang sama terhadap semua dunia usaha di Indonesia maka persamaan diatas dimodifikasi lagi menjadi:

k_s = k_rf + Country Risk Premium + (Equity Market Risk Premium)b.

Risk Free Rate (k_rf) menggunakan referensi US T-Bond selama 10 tahun.

Country Risk Premium Indonesia diperoleh dengan membandingkan yield spread antara Global bon Indonesia dan US Treasury Note. Informasi ini bisa diperoleh dari Laporan Bank Indonesia. Yield spread ini merupakan spread dalam pasar obligasi sehingga diperlukan penyesuaian ke dalam equity market, dengan cara mengalikannya dengan relative equity market volatility (std dev in country equity market/std dev in country bond).

Equity Market Rsk Premium menggunakan referensi dari mature market yaitu US average premium.

Beta Coefficient menggunakan referensi data industri di emerging market. Beta coefficient emerging market yang relefan dengan bisnis PT. Yoas adalah Oil Company (E&P) dengan nilai sebesar 1.45.

WACC menggambarkan risiko rata-rata keseluruhan investasi yang dijalankan oleh PT. Yoas, sehingga WACC hanya bisa digunakan sebagai hurdle rate untuk investasi yang tingkat risikonya sama dengan rata-rata keseluruhan investasi perusahaan.  Karena setiap investasi memiliki tingkat risiko yang berbeda-beda maka hurdle rate untuk setiap kelompok investasi juga akan berbeda. Untuk memperoleh hurdle rate suatu kelompok investasi dibutuhkan penyesuaian dari WACC yang relefan dengan besaran Specific Property Risk Premium.  Specific Property Risk Premium pada dasarnya membandingkan volatilitas return satu jenis investasi dengan volatilitas return portofolio seluruh investasi.

Berikut adalah contoh perhitungan hurdle rate PT Yoas